Eu andava inculcado com um padrão geométrico que não conseguia generalizar. Ele era tão simples. Como diz o ditado popular: A generalização “estava debaixo do meu nariz” mas enxergar que é bom nada. Lari e Joana como sempre, acabaram as atividades antes do prazo previsto por mim. Faltavam 15 minutos para o fim da aula. Na falta do que fazer as desafiei:
- Se vocês conseguirem descobrir a generalização deste padrão lhes darei uma caixa de bombom.
Figura 1.Apresentação do padrão geométrico
-Duas né? Uma minha e uma dela!
-Aí você já quer falir o coitado do professor.
Joana tomou o papel da minha mão, sentou rapidinho e já começou a investigar o padrão geométrico juntamente com Lawanda. O desafio prontamente aceito gerou surpresa para o professor. Não achei que ia ser tão motivador e subestimei o interesse das minhas alunas. As meninas pareciam buscar um tesouro: a caixa de chocolates. Mas logo deu o fim da aula e aí é hora das saudações de bom final de semana, até semana que vem, foi um prazer estar com vocês, tchau professor... Agora só na próxima terça-feira.
Na terça-feira foi assim: Bom dia e bom susto! Isso mesmo. As meninas chegaram falando que tinham conseguido investigar o padrão geométrico. “Aqui ó professor, fizemos até a 15ª posição”. Mostraram-me uma folha de caderno lá tinha escrito:
Figura 2.Folha de caderno com a quantidade de pontos até a P15
-Que ótimo....Vocês fizeram um excelente trabalho. Encontraram até a posição 15. Estão de parabéns, mas, eu queria um pouquinho mais. Mas... Como vocês acharam P5?
-Desenhamos, está na outra folha.
- E P6? E P7? E P8?
-Desenhando oxi....Seria como? Advinhando?
-Até P15?
-Deve ter ficado grande.
-Enorme!
-E se eu perguntasse quantos pontinhos tem na posição P54? E P99?
-Poxa...Vão ser muitos pontinhos...Vamos ver...
Elas sentaram-se e começaram a investigar. Enquanto Joana tentava procurar a quantidade de pontos nas próximas posições P16, P17, P18 e assim sucessivamente Lari ficou pensativa refletindo sobre qual estratégia utilizar. Ao ser questionada Lari afirmou que desenhar não era uma boa estratégia o que assustou Joana. Falei que era conveniente tentar encontrar um jeito de descobrir a quantidade de pontinhos sem desenhar até P99. E logo após fui atender as outras duplas.
Elas continuaram investigando e a cada nova descoberta era uma alegria. Me chamavam entusiasmadas. Por vezes demorava pois tinha que orientar as outras duplas. Elas estavam motivadas e aparentemente o que as movia não era mais a caixa de chocolate e sim o desafio posto de resolver um problema que nem o professor conseguiu resolver. As meninas me chamam eufóricas e me mostram novamente o seu caderno.
Figura 3.Tentando articular a representação algébrica e geométrica
-Olhe o que eu descobrir...Na posição P1 temos 1 + 1. Na P2 temos 2 x 2 + 2. P3 temos 3 x 3 + 3. P4 temos 4 x 4 + 4 e é sempre assim.
-E na posição 54?
- 54 x 54 + 54 né?
- E P99?
-99 x 99 + 99 ?
- E P1?
Pairou um momento de dúvida no ar mas Joana respondeu que era a mesma coisa. Ou seja, 1 x 1 + 1 = 2. Após isso perguntei como elas fariam para achar a quantidade de pontinhos numa posição qualquer. Joana explicitou que era só multiplicar o número da posição por ele mesmo e depois pegar o resultado e somar com o número da posição.
-Ótimo...Então se a posição for n[ou seja Pn]?
-Vai ser 2n + n.
-Vamos ver... Se n=4, temos 2 . 4 + 4 = 12, mas no desenho tem 20 pontinhos. Tem alguma coisa errada. Será que vocês conseguem descobrir?
Minha vontade foi de falar logo que era n^2 em vez de 2n. Mas, inspirado em Rubem Alves que fala que não devemos dar faca e queijo ao aluno, mas sim provocar sua fome, eu segurei minha língua e deixei-las continuar com sua investigação.
Após algum tempo voltei e elas me falaram que não conseguiam perceber o que estava errado pois estava tudo dando certo e de repente “FAIL !”. “Sempre somamos mais uma coluna com a quantidade de pontinhos igual ao da posição[apontando para representação geométrica]” e concordaram que o problema era com o 2n. Nesse momentoLari percebeu que na verdade 2n≠n^2, pois os pontinhos formam um quadradinho de pontinhos. Então Pn=n^2+n chegando assim a generalização dessa investigação. Joana me soltou:
-Professor, eu sei mais que o senhor!...rs
E Lawanda me lembrou do que já tinha esquecido:
- Cadê minha caixa? Quero da Lacta viu. Vá buscar em sua casa logo.
Acertei com elas de comprar e entregar no próximo dia que tinha aula comigo. É claro que elas quiseram receber a caixa escondida para não dividir com os colegas.
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